FISICA/C.UNIVERSITARIA/MA-Vi:14-23hs - 1° cuatr. 2024

Dinámica de Cuerpos Vinculados                                                                                                                                     

Leyes del movimiento de Newton, pilares de la dinámica, a través de ellas se generan las ecuaciones dinámicas del movimiento de cualquier sistema, que predicen el CAMBIO en el movimiento del sistema estudiado.  A saber:

1- Principio de inercia

"Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que actúe sobre él una fuerza resultante no nula. Dicho en otras palabras: para que un cuerpo posea una aceleración debe actuar sobre él una fuerza no equilibrada"

2- Principio de la fuerza

"Una fuerza no equilibrada aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración, de la misma dirección y sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa, m, del cuerpo"

3- Principio de acción y reacción

"A toda fuerza [acción] se le opone otra [reacción] igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce una acción sobre otro, este último ejerce también una acción, del mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario, sobre el primero. Estas dos fuerzas, aunque opuesta, no se equilibran mutuamente, ya que no están aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las fuerzas de acción y reacción siempre están aplicadas a cuerpos distintos"

Guía sugerida en el procedimiento para abordar problemas que requieren la aplicación de las leyes de Newton 

1. Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.
2. Aísle el cuerpo (u objeto) cuyo movimiento se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para este objeto, es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre él. Para sistemas que contienen más de un cuerpo, dibuje diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre sus alrededores.
3. Verifique que reconoce todos los pares de acción-reacción de interacción.
4. Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determine las componentes de las fuerzas a lo largo de dichos ejes. 
5. Aplique la segunda Ley de Newton, ∑F = m.a, para cada componente y cada cuerpo/objeto.
6. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos los términos tengan unidades de fuerza.
7. Resuelva las ecuaciones de componentes para obtener las incógnitas.
8. Recuerde que se deben tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para poder obtener una solución completa.
9. Verifique las predicciones de sus soluciones para valores extremos de las variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resultados.

Ejercicio de Cuerpos vinculados

Dos cuerpos de masa m_A = 5 kg y m_B = 3 kg están vinculados entre sí a través de una soga de masa m_s=5 g, pequeña comparada con m_A y m_B. Se desprecia el rozamiento entre los cuerpos y el aire. 

Se tira del cuerpo A con una fuerza cuyo módulo es |F| = 1000 N.

a) Realizar el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo y para la soga.

b) Indicar cuáles son los pares de acción-reacción.

c) Si la soga es inextensible (la distancia entre todo par de puntos pertenecientes a ella permanece constante), calcular la velocidad y la aceleración de cualquier punto de la soga, y la velocidad y la aceleración de los cuerpos.

d) Para cada cuerpo, determinar el valor de cada una de las fuerzas actuantes y el de la fuerza neta o resultante.

e) Si m_s → 0, ¿qué sucede con la fuerza que la soga ejerce sobre cada cuerpo?

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE           

Desarrollo:

Denominamos a las fuerzas seg’un la siguiente convención:          

F_AS : fuerza ejercida sobre A debido a S

Cuerpo A)   eje y)  F -   F_AS   - P_A = m_A  a_Ay     (I)

Cuerpo S)   eje y)  F_SA - F_SB   - P_s = m_s  a_sy     (II)

Cuerpo B)   eje y)          F_BS   - P_B = m_B  a_By     (III)

Consideraciones

1) F_SA  = F_AS     por ser pares de acción reacción (par).

2) F_SB  = F_BS     por ser pares de acción reacción (par).

3) El par del peso de cada cuerpo está ubicado en la Tierra, dado que la fuerza peso es la fuerza (de interacción gravitatoria) ejercida por la tierra sobre el cuerpo en cuestión. Si quisiésemos seguir nuestra notación escribiríamos:

      P_A = P_AT   y  P’_A= P_TA   ídem para S y B

      P’_S= P_TS   y  P’_B= P_TB

4) ¿Qué relación guardan las distintas aceleraciones? Nos dicen que la soga tiene una característica, es inextensible, ¿qué significa esto?

Significa que la distancia entre cualquier par de puntos de la soga (p y q por ejemplo) es siempre la misma, permanece constante (no se estira no se comprime), esto lo escribimos así

  |x_q - x_p| = d = constante

Observemos el gráfico de arriba donde se grafica la soga a diferentes tiempos. Para poder entender cuáles son las consecuencia de pedir que la soga sea inextensible, simplificamos el estudio al eje x (pero es aplicable a situaciones más generales); entonces directamente a tiempo t

d = x_q - x_p 

y se cumple además que para tiempos posteriores la soga se traslada rígidamente, la distancia entre estos puntos no varía:

d = x_1q - x_1p            d= x_2q - x_2p

Y esto sucede a todo tiempo, de manera es sencillo de ver que la cinemática de los puntos q y p debe ser la misma, no sólo las velocidades son iguales sino que también la aceleración de cada punto:

v_p = v_q         y           a_p  = a_q

Esta última igualdad es válida para todos los puntos de la soga, en particular para los extremos de la soga que unen a ambos cuerpos. 

Una  soga es inextensible TODOS sus puntos se mueven con IGUAL velocidad y  aceleración.

5) Por lo tanto, en el ejercicio:

                                       a_Ay  = a_Sy = a_By  = a 

6) Con estas consideraciones reescribamos las ecuaciones (I) (II) y (III)

Cuerpo A)   eje y)  F -   F_AS   - P_A = m_A  a     (I)

Cuerpo S)   eje y)  F_AS - F_SB   - P_s = m_s  a     (II)

Cuerpo B)   eje y)          F_SB   - P_B = m_B  a      (III)

Ahora si el número de incógnitas coincide con el número de ecuaciones, sólo nos queda resolver algebraicamente:

7)  (i) La forma de resolver este sistema de ecuaciones la eligen Uds. Yo en general utilizo esta:

         Sumo los tres miembros de la derecha, e igualo a la suma de los tres miembros de la izquierda: 

          (F -   F_AS   - P_A  ) + (F_AS - F_SB   - P_s  )+ (F_SB   - P_B )  = m_A  a  +   m_S  a     + m_B  a     

     (ii) Observen que los términos F_AS  se cancelan porque están sumando y restando, ídem con F_SB.

     (iii) Por otra parte del lado derecho podemos sacar a factor común, y nos queda la siguiente ecuación:

           F - P_A   - P_s  - P_B   =    (m_A   +   m_S   + m_B)  a      -->  a =   (F - P_A   - P_s  - P_B  ) / (m_A + m_S + m_B)  

8) Datos : m_A = 5 kg ;  m_B = 3 kg  ; m_s = 5 g    y |F| = 1000 kgf

  (i) -> a =  (1000N –50 N –30N – 0,05N)  /  (5+3+0.005) kg

         a =   919,95 N / (8,005) kg     =  114,922   m/s²     

 (ii) A partir de este resultado reemplazamos en (I), (II), (III) y obtenemos las distintas fuerzas:

         F_AS   = 375,39  N       y  F_SB  =  374,77 N

Observen que difieren muy poquito esto se debe a que la masa de la soga es muy pequeña.

9) ¿Qué sucede si la masa de la soga tiende a 0?  (  P_s --> 0)

La ecuación (II)   F_AS - F_SB   - P_s = m_s  a   -->   II )   F_AS - F_SB   = m_s  a   = 0 

                                                        F_AS = F_SB     

10) Como las sogas no pueden empujar y siempre están TENSAS en general denominamos a las fuerzas ejercidas por una soga TENSIÓN. Ojo la soga está en movimiento, está acelerada.

11) Los nuevos valores son (m_s-->0):  a = 920N/8kg = 115 m/s² y F_AS = F_SB    = 375N

Nuestras sogas tendrán de ahora en adelante características especiales: serán hilos muy delgados de masa pequeña (despreciable) e inextensibles, y las denominaremos sogas ideales.   

Las  sogas transmiten la misma fuerza, en módulo, a lo largo de ella.